¿Qué es la Transformada de Laplace?

 

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función ${\displaystyle f(t)}$^{nota 1}​ definida para todos los números positivos ${\displaystyle t\geq 0}$, es la función:

siempre y cuando la integral esté definida y en la cual ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es llamado el operador de la transformada de Laplace. Cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es:

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de ${\displaystyle f(t)}$.

¿Quiéres explorar más acerca del tema?
A continuacion te dejamos algunos videos sobre la Transformada de Laplace para que comprendas mejor...

Qué es y para qué sirve la transformada de Laplace

Transformada de Laplace: ¿qué es?

Definición de la Transformada de Laplace

Transformada de Laplace #1 

A continuación te dejamos una imagen de Fórmulas que son necesarias para este tema:

Hablemos sobre la historia de la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor a Pierre Simon Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son

• Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.

• Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anécdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

• Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.

• Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporáneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.

• La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX.

Te interesa saber más sobre el tema, te dejamos un PFD extenso sobre la historia e información de la Transformada de Laplace

Estudio de la transformada de Laplace